扫一扫手机浏览
众所周知，三角形的面积=底×高÷2，这个高是底边上高。这个公式深深扎根在我的脑海里20余载，我对三角形面积公式的思维也被无情地束缚了如此之久。直到有一天，我发现三角形的面积公式并不局限于“底×高÷2”，以前我所看到的只是公式的冰山一角。下面，让我们一起揭开“三角形面积=底×高÷2”的美丽面纱。
如图所示，CD是△ABC的底边AB上的高，F是以AB为直径的圆上异于B的动点，E是AB所在直线上的点，且CE⊥BF，记AB=a，CD=h，CE=k，BF=g，求证：S△ABC=gk÷2.
证明：设CE所在的直线与AB所在的直线的夹角为α，BF所在的直线与AB所在的直线的夹角为β，则α+β=90゜，sinα=cosβ 。
由题意得h=k·sinα，
a=g/cosβ，
又∵ S△ABC=0.5ah，
∴ S△ABC=0.5ah=0.5(g/cosβ)·ksinα=0.5gk(证毕)
因为F是以AB为直径的圆上异于B的任意点，所以推广后的公式S△ABC=gk÷2具有一般性(普遍性)。到此，我们已经把三角形的面积公式由三个特殊位置(分别以三边为底)的面积公式推广到了一般位置的面积公式。
将“三角形的面积=底×高÷2”推广为“三角形的面积=广义的底×广义的高÷2”有什么用呢？它的作用是：第一，可以使我们对旧三角形的面积公式有新的更全面的认识；第二，推广后的公式具有更广泛的应用。
例如，如图所示，假设△ABC的顶点C与AB边之间有障碍物(点C和边AB完整)，求S△ABC。用旧公式就无法解决，但不影响推广后的公式的使用。操作是：以AB为直径向外作半圆，在圆上取适当一点F，连接FB，过C作直线垂直FB交AB的延长线与E点，测量出CE和FB，代入公式计算即可。
在一定范围内，只要一点和这点所对的边，就可以测量计算出该点和其所对边构成三角形的面积。
