一元三次方程快速解法因式分解（快速因式分解技巧）

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扩展背景知识

在正式讲解之前，先介绍一些扩展背景知识，仅供开阔视野，并非解题所必须了解的知识。

1. 一元ｎ次方程在复数范围内必定有ｎ个根；

2. n<=4时一元n次方程有解析解，即有求根公式；

3. 一元三次方程、一元四次方程的求根公式比较复杂，不建议直接使用；

4. 一元三次方程必定至少有一个实根；

02

快速因式分解技巧

本次讲解的题目如下：

我们可以分别尝试使用激进法和保守法进行求解。

激进法：大胆假设，小心求证

由于因式分解是在整式范围内进行的，所以如果我们假设上述表达式有三个整数根的话，那么根据因式定理，原式一定可以写为：

这里为了方便描述，用(x+a)来表示因子，用(x-a)表示原理是一样的。

令x=0，可得：

保守法：小心假设，小心求证

当然有可能原式只有一个整数解，所以保守起见，原式可以写为：

令x=0，可得：

当然存在没有整数解的情况，但是考试中给出一个无法因式分解的考题，纯属刁难：）

可以看到，不论是激进法，还是保守法，我们都可以发现方程的根必然是105的因子，由此即使不采用本文的方法，对于类似的问题，都可以先将原式中的常数项进行质因数分解，然后从小到大用试根法试出方程的根，然后用整式除法得到剩余部分，剩余部分的次数肯定会降低，可以继续用本方法或者其他的方法比如十字相乘法对剩余部分进行因式分解。这种方法逻辑上适用于任何一元n次方程。

以此题为例，可以依次尝试验证正负1、正负3、正负5、正负7是否为方程的根。下面我们使用激进法求解上述问题。

03

用激进法求解

我们可以假设如下：

分别令x=0和1，可得：

下面我们需要考虑abc的可能取值，即通过对105进行因数分解得到abc的值。

1. 显然正负1不是方程的根，那么abc不可能等于正负1；

2. 原式有负系数，那么abc里必然有负数；又105为正，那么abc必然两负一正；

3. 不失一般性，我们假设了a<=b<=c

由此可知abc的可能分解方式如下：

经过验证，同时满足x=0及x=1时相关的方程约束的只有如下解：

由此原式可分解为：

经过验证，成立，正确！

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总结

本文介绍了一种快速进行因式分解的技巧，逻辑上适合任何一元n次方程。需要注意的是，不存在一种因式分解方法能够解决所有的因式分解问题。所有本方法只是其中的一种，用于快速辅助求解，至少可以帮你快速确定方程的一个根，从而用其他的方式继续分解。

即使原式可能只有一个整数解，但是也不妨碍使用激进法。因为此时激进法没有满足两个等式的abc的解，但是此时我们可以快速确定方程的一个根，从而用其他的方式继续分解。